handballerは,きちんとした英語です。
でも,正しくはドイツ語と言った方が良いかもしれません。
実は,現在行われている7人制ハンドボールは, イギリス,アメリカ,カナダといった英語圏では ほとんど行われていません。
英国発祥のスポーツではないからですね。
アメリカでも,ハンドボールは別のスポーツを指す場合があります。
よって,”European handball"と説明が必要な時もあります。
ハンドボールの起源は,デンマークとかドイツと言った 英語圏で無いヨーロッパです。
で,ドイツ語では,ハンドボール選手は,"handballer" と表現します。
これが徐々にですが,英語圏にも定着しつつあります。
ウェブ辞書のWeblioを引きますと, handballer: handball player と出てきます。
ちなみに,ハンドボール協会の登録ウェブサイト名は, 「ハンドボーラー」です。
https://handballer.jp/ 英語しか話さない人には,ハンドボール自体を知らない人も いるので,"I am a handballer."と言っても通じない人も いるかもしれません。
そういう人には,"Do you know about handball?" と聞いてみましょう。
"No!"と答えられるかもしれません。
よって,handball player でも handballer でも どちらでも良いわけですが,handballer の方がクールかな? 余談:野球選手も baseball player の他に baseballer と言う場合もあります。