少し走るとエンジンが止まり、待っているとエンジンが掛かる、という症状から考えて、燃料タンクキャップの詰まりだと思います。
燃料タンクのキャップには空気の通る小さな穴が開いています。
ガソリンはタンクの下部から流れ出るわけですが、ガソリンが出る量だけの空気が入らなければガソリンは出なくなってしまいます。
そのため、キャップには空気が通る穴が開いています。
このキャップの穴が、ゴミなどにより時々詰まる場合があります。
詰まるとタンクに空気が入らなくなりますので、走ってガソリンが減ってくると燃料タンク内が負圧になってガソリンが出て行かなくなります。
完全に詰まっているケースは稀で、少しは空気が通りますので、待っていれば少しずつ空気が入って負圧が解消され、ガソリンがまた流れるようになります。
確認方法ですが、しばらく乗ってみて、エンジンが止まってしまったらすぐに燃料タンクのキャップを開けます。
その際にキャップに耳を近づけて、ゆっくりキャップを開けます。
キャップを開ける瞬間に空気を吸い込む音がしたら、間違いなく上記の原因です。
(タンク内が負圧なのでキャップを開けると空気が吸い込まれるのです) キャップを開けてタンク内の負圧が解消されましたので、ガソリンが流れやすくなりますから、エンジンはすぐに掛かると思います。
修理方法は、キャップを分解して清掃するか、高圧エアーで穴をクリーニングします。
キャップの穴ですが、キャップの内側に穴がある場合もありますし、ゴムのパッキンに近いサイド部分にある場合もあります。
また、ロックする爪の隙間からキーを刺すところがつながっていて、空気穴となっている場合もあります。
車種によって穴の作りがいろいろなので、Dioの場合がどうなのかはわかりません。