いくつかの原因をあげておきます。
まず、ディスクを使っているならディスクをチェックしてください。
傷がついていたり、汚れていたりで読み込めない可能性があります。
汚れてた場合は、乾いたハンカチなどで内側から外に拭いてください。
決して円をえがいて拭いてはいけません。
ほこりが一か所にたまってしまいます。
傷でも多少なら問題はないですが、致命的なものもあります。
たとえば、ひびが入ったみたいな傷や 記録面ではなく、ラベル面に傷があるなどです。
この場合は意図して壊してなければ交換は可能なはずです。
http://support.xbox.com/ja-JP/xbox-360/games/disc-replacement-program 上記のURLで交換のサポートについて載っています。
もし、ディスクに傷がなければ 本体の読み取り部が原因かもしれません。
その場合はレンズクリーナーをやれば解消されるかもしれません。
しかし公式が推奨しているわけではないので使用には注意が必要です。
レンズクリーナーの種類は乾式、湿式、エア式の3つです。
乾式と湿式はブラシを使い洗浄します。
湿式のみ専用の洗剤を使います。
それ以外に違いはありません。
注意点としては、消耗品だということです。
エア式はディスクに穴が2つあり そこで空気を通して汚れを落とすタイプです。
頑固な汚れは落ちませんが、定期的に掃除するタイプですね。
これは最悪の場合、本体を交換ですね。
また、ディスクではなくダウンロード版の場合は インストールをやり直してください。
それでももしだめなら、保存機器に問題がある可能性があります。
HDDを交換する場合の注意点として 保存したデータが消えることを覚悟しておいた方がいいです。